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“网红”数学课

日期:2016-04-14 【 来源 : 新民周刊 】 阅读数:0
阅读提示:数学大师陈省身曾经题词:“数学好玩”,乐经良老师对这句话印象 深刻,他认为,数学学习中最重要的是兴趣。
数学到底有什么用?
 
  3+3+3+3=12,这个等式是不是看起来很复杂?那么3×4=12 呢?事实上,乘法就是一种简洁的美,虽然学习它时很复杂,要背乘法表,但是使用时就能体会到简洁之美。
  为什么人的脑袋上有一个以上的旋?数学告诉你,一个球面上长满头发,除非全部垂直向上,只要有倾斜角度,即使都朝一个方向倾斜,也一定会出现一个以上的旋。
  平行线是两条永不相交的直线,还是两条相交于无穷远的直线?听上去好像都对,但实际上差别很大。比如说,如果平行线终将相交于遥远的某个点,那三角形内角和等于180°的定理还成不成立?因为这条定理的证明是以“平行线永不相交”为前提的。
  别怕,我不是要讲数学题,我只是想说,数学有着无穷奥妙。但也有人吐槽,这些定理、公理和生活有什么关系?我们的生活里,加减乘除就够了,为什么还要学高数?
  人们对数学的观感呈两极分化,这又增添了它的神秘。在重重误解之下,数学究竟有怎样的价值?
 
“网红”数学课
 
记者 任蕙兰
 
       一直以来,数学课很容易让人有“高山仰止”的感觉,再优秀的学生也不敢掉以轻心,更多的人则对它忌惮三分。但上海交通大学有一门“传说中的数学课”,拥趸无数,上课时一位难求。
  “可爱的老头”裘兆泰教授讲授的数学分析,为在他的课上抢占前排位置,学生们常常隔夜占座,学校BBS 上经常有学生贴出给他的长篇感谢信。讲授高等数学的乐经良教授,虽已年过60,却被亲切称为“乐哥”,不少人都试过废寝忘食破解他用数学知识设立的密码。每年全校评选“最受欢迎十大教师”,总有两三个数学老师入选,难道“被虐”的学生们都患上了“斯德哥尔摩综合征”?
  数学大师陈省身曾经题词:“数学好玩”,乐经良老师对这句话印象深刻,他认为,数学学习中最重要的是兴趣。教学的一个重要目的,就是让学生体会到数学的这种“好玩”,让学生真正喜欢学习数学,这才是学习的持久动力。兴趣一方面来自学习过程中解决问题的喜悦,另一方面就是老师的引导。
 
像福尔摩斯一样教数学
 
  乐经良老师曾经联系福尔摩斯探案故事,把数学理论、数学方法和密码的知识结合起来在课堂上讲解,学生们马上有了兴趣。不仅如此,很多同学还兴致勃勃想一试身手,乐老师就会给学生一段密文,让他们自己破译。有的学生五一长假不休息,就为了破译一份密码,他们说:“做这样的事情很苦,但是苦得心甘情愿,苦得很快乐。”
  除了带动课堂气氛,课后互动也很重要。有时老师在考卷和作业本上多指点几句,不仅让学生受益,还会让人感觉自己不仅是点名册上的一个名字,而且是被老师记得的一个门生,积极性自然会提高。当然,这就需要老师付出几倍的时间精力。
  裘兆泰老师以对教学工作的高度敬业出名。他对数学分析作业批注之细致,让上过他课的学生难以忘怀。凡经裘老师阅改过的试卷,几乎每道试题边都有批注,有的改正错误,有的指出方向。即使解答正确,他也会提出一个更好的解题途径,或者写上几个更深入的相关问题让你“思考思考”。尽管这样改卷十分费时费力,裘老师却乐此不疲,他自嘲说这已是一个“改不掉的坏习惯”了,但学生却普遍欢迎,都认为从中受益匪浅。
  对一些思维活跃,总是提出书本外问题的同学,裘老师尽量创造条件“开小灶”,引导他们独立地分析和解决问题。曾经有一位学生对某一本著作中介绍的内容有怀疑,认为该书的证明方法有问题,但他自己觉得没有把握,便来与裘老师讨论。为此,裘老师多次到图书馆查阅有关资料,认真分析研究后感到学生的怀疑有道理,并且把自己的看法详细地写下来与这位同学做进一步的探讨。
  裘老师家电话变成学生热线,一直开通到午夜12 点,不但解答数学问题,也帮助学生解决其他疑难。同学们也很喜欢与这个老头聊聊天。即使是不认识的学生,不用自报家门,只要给裘老师电话,他也会耐心地开导。
  “现在数学的教与学都和过去不同了,我们必须不断创新,让学生对数学课有兴趣。”乐经良说。过去课堂授业是学习知识的唯一途径,现在学生有哪一块知识不懂,上网就能找到相关课程,下载在手机上,随时可以拿出来看,甚至可能比课堂老师讲得更透彻。
  海外名校的数学公开课,就在学生们的手指尖——不怕不识货,只怕货比货,这就对课堂教育提出了新的挑战。但是乐教授认为,课堂教学还是学习数学的主要方式,它有胜过课外学习的优势。
  “在课堂中,你看着学生的眼睛,就知道他是不是听懂了。如果眼神空洞,说明没有集中精神在听,如果眼神迷茫,说明没有体会要领,那就要继续巩固。如果学生眼睛发亮,醍醐灌顶的表情,那就说明他们明白了,这个知识点可以过了。”他认为,根据学生掌握的情况,随时调整讲课节奏,是其他教育手段无法代替课堂教育的一点。
  当然,在“强敌环伺”的新环境下,上好一门数学课必须多一点“花招”。比如结合热点,分析搜索引擎排名中涉及到的数学知识,再比如鼓励学生运用学过的数学知识,建立模型,解决一些实际问题。
  在教授其他专业学生数学课时,乐经良经常鼓励大家玩“跨界”。曾经有一个计算机系的学生,在有关“混沌现象”问题的数学实验课上,运用老师提供的方法和自己的软件制作知识,做了一个数学小软件来观察混沌,只要输入一个数据,图像就可动态地显示混沌现象,这款软件制作得非常精彩。
  一年之后,数学系几个老师,合作撰写了一篇论文,在发表之前,理论部分已经没有问题,他们希望能做出显示效果的图像,但是做了几次都不是很理想,乐老师想到了这位同学,问他:“你能不能做?”他爽快地答应试试,结果做出的图形效果非常好。论文最终发表在核心期刊《应用数学学报》上,只有三年级的他,也是这篇高质量论文的作者之一。
  鼓励学生去开拓,发挥创造性,这也正是西方数学教育最值得借鉴之处。交大数学科学学院院长励建书表示,高校的数学教育正在向国际标准看齐,以国际化的理念和视野培养学生。
  以交大的数学学分改革为例,过去数学专业的学分在170-180分,比美国大部分高校数学系的学分高,学时长。密歇根、伯克利、斯坦福数学专业学分在120 分左右。在高学分压力下,学生不得不投入高强度学习,就没有思考消化的时间了。减少学分总量,可以让学生有自主权选择自己喜欢的课程,进一步深入学习,不必面面俱到。
  而对于特别优秀的学生,学院设置了荣誉计划(honorable class),选拔优秀的学生进入,配备最好的资源,修完一整套课程,就能以荣誉生(honor student)毕业。
  
文科生的敌人?
  
  数学课上得有意思,学生就不会觉得“数学猛于虎”。但在基础教育阶段,以应试为导向的的数学课,往往被上成了“解题课”,剥夺了学生对数学的兴趣。就好像明明可以自由恋爱的对象,硬生生逼成了“媒妁之合”。
  于是很多人甚至偏激地提出,让数学“滚出”高考,当然也有人反唇相讥,数学的存在正是为了把那些学不好数学的人筛出去。但“力挺派”说法也只是把数学当成鉴定智商的工具,没有认可数学的实用性。
  那么学数学到底有什么意义?难道就只为了去买菜时不会算错账?
  按照上海交大的学分设置,不但工科、生农专业要修比例不低的数学学分,管理类、文科也要修数学。
文科也有必要打好数理基础?交大教务处长吴静怡说,“学的时候很难,但收获非常大。”
  在乐经良看来,数学是一种素质教育,它是理性思维的载体,学习数学除了获得一定的知识,还能改变一个人的思维方式。复杂数学题目背后,是严密的证明逻辑,是教学生如何思考,以数学方法、数学思维去拆解复杂问题。
  “有时我去看学校的辩论比赛,有的孩子很机灵,会抖包袱,有那种赵本山式的幽默,他遇到难点会转移话题,有急智,反应很快,现场效果很好。但是有个显著的弱点,他的论述缺乏严密的逻辑,说理论证不够,没有说服力,不能真正打动你。”他认为,受过良好数学训练的文科生,无论演讲还是写文章,带上一些数学思维,比如归纳、证明、类比,会有一种逻辑严密带来的力量。
  数学是一种抽象的思维模式,精确的数学语言让人有条不紊地思考复杂的决策,而不是只凭轶事、猜测和雄辩。许多著名的哲学家都经过严格的数学训练,例如古希腊的苏格拉底、柏拉图、亚里士多德,近代的笛卡尔、斯宾诺莎、莱布尼茨、洛克、休谟、贝克莱、康德,代的罗素、维特根斯坦、胡塞尔等。数学能使人们的思维方式严格化,养成有步骤地进行推理的习惯。学习数学的人更能有效地进行思维,
发展人的思维能力就是学习数学的重要意义。
  另一方面,数学能改变一个人的欣赏视角。“什么是美?我认为一个是准确,一个是简洁。学习数学,让你学会欣赏一般人不能欣赏的美。”乐经良说。
  举个最简单的例子,3+3+3+3=12,这个等式是不是看起来很复杂?那么3×4=12 呢?事实上,乘法就是一种简洁的美,虽然学习它时很复杂,要背乘法表,但是使用时就能体会到简洁之美。
  数学还为艺术提供丰富的灵感之源和坚实的创作支柱,从斐波那契数列到麦比乌斯环,都为艺术家提供了创作的灵感。甚至连最抽象的音乐也可以用数学诠释,法国数学家傅立叶证明了,所有的声音,无论是噪音还是仪器发出的声音,复杂的还是简单的声音,都可以用数学方式进行全面的描述。
  从更广泛的视角来看,数学还作为一种工具被广泛地应用于其他科学,几乎所有重大科学突破中,数学起到不可或缺的作用。第一个设计出通用数字计算机的图灵是数学家,创建第一台电子计算机的冯·诺依曼也是数学家……几乎在历次科技革命中,都是数学在开路和照明。
  美国数学家斯蒂恩作了这样的比喻:许多有学问的人,特别是科学家和工程师,把数学想象成一棵知识之树,公式、定理和结论就像挂在树上的成熟的果实,让路过的科学家采摘,用以丰富他们的理论。
  中国科学院院士张恭庆曾撰文分析,19 世纪末到20 世纪初,X 射线、电子、天然放射性、DNA 双螺线结构等的发现,使人类对物质结构的认识由宏观进入微观,相对论和量子力学的诞生使物理学理论和整个自然科学体系都发生了重大变革,成为第三次科学革命。在这次革命中,数学起了很大作用。建立相对论需要黎曼几何,爱因斯坦本人就承认,是几何学家走到前头去了,他不过学了几何学家的东西,才发明了相对论。在量子力学中用到的概率、算子、特征值、群论等基本概念和结论都是数学上预先准备好了的,所以数学对第三次科学革命起到了推动作用。
  数学这棵树上的果实,还被人文科学研究者摘取。比如说,你觉得成为一名历史学家不用学数学?那么就错了。如果没有以数学为基础的现代经济学、统计学研究,你就不可能看出,17 世纪以后东西方历史走向的差异,一大原因是马尔萨斯陷阱;也不可能知道,通货膨胀对宋代灭亡所起到的影响。
  正因如此,历史一次次证明,数学实力往往影响着国家实力,世界强国必然是数学强国。发达国家
常常把保持数学领先地位作为它们的战略需求。
  17-19 世纪,数学PK 是在英国、法国、德国等欧洲强国之间展开的。17 世纪英国牛顿发明了微积分,用微积分研究了许多力学、天体运动的问题,这一突破将英国领向数学强国。19 世纪德、法争雄,在数学上的竞争也非常激烈,到了20 世纪初德国哥廷根成为世界数学的中心。
  俄罗斯数学从19 世纪开始崛起,到了20 世纪苏联时期成为世界数学强国之一。苏联于1958 年成功发射了第一颗人造地球卫星,震撼了全世界,这有赖于苏联在相关的数学领域处于世界领先地位。
  第二次世界大战改变世界政治格局,也改变了数学格局,原本美国在数学上落后于欧洲,战前德国纳粹排犹,大批欧洲的犹太裔数学家被迫移居美国,增强了美国的数学实力。尤其苏联发射第一颗人造地球卫星后,美国加强了对数学研究和数学教育的投入,迅速成为一个数学强国。苏联、东欧解体后,美国又吸纳了其中大批的优秀数学家,如今成为数学超级大国。
  而随着中国国力提升,高铁、大飞机等自主研发成果逐步投入实践,也证明了中国数学实力的发展进步。
 
高大上行业热捧
  
  过去很多年,数学专业一直没有挤进高考第一梯队分数线,因为人们普遍认为基础学科就业难。随着数学的重要性逐渐在各个行业中得到体现,数学人才渐渐成为人力市场中的香饽饽。
  励建书表示,数学专业的学生,除了一小部分顶尖人才会进入研究领域,大部分分流到金融、经济、计算机等领域,就业前景非常广阔。“现代企业越来越认识到数学人才的重要性,美国谷歌、Facebook 这样的公司,经常是把一个大学的整个数学研究团队挖过去。”
  根据张恭庆的归纳,信息产业可能是雇用数学家最多的产业之一。互联网、计算机核心算法、图像处理、语音识别、云计算、人工智能、3G等IT 业主要研发领域都是以数学为基础的。这里用到许多不同程度的数学工具,有的还有相当的深度,包括:编码、小波分析、图像处理、优化技术、随机分析、统计方法、数值方法、组合数学、图论等等。
  贝尔实验室、朗讯、IBM、微软、谷歌、雅虎这类IT 行业领袖,不但大量地招聘数学专业的博士、硕士到公司工作,而且还专门设有相当规模的数学研究部门,支持数学家开展纯粹数学理论研究,以确保长期的核心竞争力。IBM 公司还为本公司5 万名咨询人员建立了数学学历档案,以便能够针对每项工作任务,指派最合适的团队人员。
  “大数据”成为各国政府管理人员、科技界和媒体十分关注的概念。为了处理网络上的大量数据,挖掘、提取有用的知识,需要发展“数据科学”,美国启动了“大数据研究与发展计划”,欧盟实施了“开放数据战略”。“大数据”的核心是将数学算法运用到海量数据上,预测事情发生的可能性。研究大数据的基础是:数学、计算机科学和统计科学。
  国际金融市场也是数学人才的归属之一。“金融数学”是利用数学工具来研究金融,进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析的一种金融高技术。它是数学和计算技术在金融领域的应用。华尔街和一些发达国家大银行、证券公司高薪雇用大批高智商的数学、物理博士从事资本资产定价、套利、风险评估、期货定价等方面的工作。
  在工业领域,对数学人才的需求也很大。上世纪70 年代之后,计算机技术和计算流体力学的发展使数值模拟在大型客机的研制中发挥了巨大作用,计算流体力学与风洞试验、试飞一起并列成为获得气动数据的三种手段。传统的大型工程,如水坝的设计需要对坝体和水工结构作静、动应力学分析,数学中的有限元方法是其中最基本的计算方法。在石油勘探与开采中都大量运用数学方法,涉及到数字滤波、偏微分方程的理论和计算以及反问题等。
  在先进的生物光学成像技术的研究中也吸引了不少数学家的参与。现代医疗诊断中常用的CT 扫描技术,其原理是数学上的拉东变换。CT 螺旋式的运动路线记录X 光断层的信息。计算机将所有的扫描信息按数学原理进行整合,形成一个详细的人体影像。
 
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